Preguntas de Matemáticas liberadas de PISA

Extraído de http://educalab.es/inee/evaluaciones-internacionales/preguntas-liberadas-pisa-piaac/preguntas-pisa-matematicas

Preguntas liberadas de PISA como recursos didácticos de Matemáticas

En esta Web presentamos una recopilación de 84 preguntas liberadas del proyecto PISA para la evaluación matemática que han sido utilizados en los estudios realizados en los años 2000, 2003 2006 y 2012, y que actualmente están liberadas para su difusión y conocimiento público.

Son unos excelentes recursos didácticos, que pueden desempeñar un papel complementario muy importante en la enseñanza de las Matemáticas de la ESO en el estudio de cualquier tema de la programación, por la singularidad y características. En el planteamiento de las preguntas del Proyecto PISA, se priorizan las aplicaciones de las matemáticas al mundo real y cada pregunta puede tener relación con varios temas del currículo de la ESO, por lo que este tipo de recursos didácticos son muy apropiados para establecer conexiones entre diversas ramas de las matemáticas.

Estas preguntas liberadas se han clasificado por materias siguiendo la secuenciación de contenidos que es usual en el currículo de la ESO. A continuación presentamos el orden seguido:

El problema de los colores

http://www.gimme5games.com/play-game/flood-fill

Seguro que muchos de los lectores de este blog conocen el teorema que da título a esta entrada. El teorema de los cuatro colores es un importante (y bastante conocido) resultado de teoría de grafos que, aunque ha sido citado ya por aquí, no tenía un post dedicado a él. Creo que hoy, después de conocer el fallecimiento de Kenneth Appel (uno de los matemáticos que lo demostró) el pasado 19 de abril, es un buen día para ello.

Comencemos con algo de la historia del problema. A mediados del siglo XIX Francis Guthrie se dio cuenta mientras coloreaba un mapa de los condados de Inglaterra de que necesitaba al menos cuatro colores para que se cumpliera la condición de que dos regiones con frontera común tuvieran colores distintos (si dos regiones se tocan en un único punto se entiende que no tienen frontera común). Francis le comentó el tema a su hermano Frederick, que a su vez se lo planteó a Augustus de Morgan (profesor suyo en un curso de matemáticas en aquel momento), que aunque no supo responderle se encargo de difundir el asunto entre otros matemáticos. En 1878 Arthur Cayley lo presenta formalmente a laLondon Mathematical Society y así el problema queda abierto con un enunciado como éste:

Todo mapa plano puede colorearse con, como máximo, cuatro colores con la condición de que regiones con frontera común tengan colores distintos.

El años siguiente, 1879, es una fecha importante en relación con este problema. Ese añoAlfred Kempe publica una demostración del mismo. En efecto parece ser que con cuatro colores era suficiente y el problema estaba resuelto…

…y así fue hasta 1890, año en el que Percy Heawood encontró un error insalvable en la demostración de Kempe, por lo que el problema volvía a estar abierto. A partir de aquí muchos matemáticos (entre ellos el propio Heawood) atacaron el problema, pero ninguno de ellos consiguió dar con la tecla…y nunca mejor dicho.

Pero todos esos intentos fallidos no fueron en vano. Por el camino quedaron demostraciones de que para colorear un mapa dibujado en un toro hacen falta, como máximo, siete colores, y que para colorear uno mapa en una banda de Möbius hacen falta, a lo sumo, seis colores. También se demostró que cinco colores eran suficientes para un mapa plano. Pero parecía que todos los mapas podían colorearse con cuatro, que no nos hacían falta esos cinco…

Por cierto, hemos comentado al principio que este problema pertenece a la teoría de grafos, pero no hemos dicho cómo relacionar mapas con grafos. Lo que se hace a partir de cada mapa plano es calcular su grafo dual, que se construye asignando un vértice a cada región y uniendo dos vértices con una arista si en el mapa las dos regiones correspondientes a dichos vértices tenían frontera común. Por ejemplo, este mapa de Castilla-La Mancha.

tendría como grafo dual al siguiente grafo:

De esta forma el problema queda planteado de la siguiente forma:

¿Es cierto que los vértices de todo grafo plano pueden colorearse con, a lo sumo, cuatro colores de forma que dos vértices unidos por una arista tengan colores distintos?

Por ejemplo, el mapa anterior (y, por tanto, también su grafo dual) puede colorearse con, en este caso, tres colores:

Con todo esto entramos en el siglo XX y sobre 1950 se comienza a pensar que los ordenadores podrían ser de gran ayuda en este problema. El matemático alemán Heinrich Heesch fue uno de los pioneros en este sentido, y sus investigaciones acabaron siendo fundamentales para el desenlace del asunto. Pero los auténticos protagonistas de la demostración del teorema de los cuatro colores son Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Ellos fueron los que, en 1976, anunciaron que “Cuatro colores son suficientes”. La demostración que presentaron no es de las, digamos, “habituales”, ya que una buena parte de la misma se realizó con ayuda del ordenador. Más adelante se presentaron mejoras a la demostración de Appel y Haken, y hasta hay alguna propuesta que no utiliza ordenador (que, hasta donde yo sé, no está confirmada como correcta), pero ellos fueron los primeros.

En la actualidad, la opinión más extendida es que el teorema de los cuatro colores está demostrado, aunque quedan escépticos que consideran que no es “lícito” utilizar el ordenador de la forma en la que se hace en estas demostraciones. Sobre todas ellas tenéis más información en el pdf de Marta Macho que enlazo al final de esta entrada.

Kenneth Appel

Fallecimiento de Kenneth Appel

Como decía al comienzo de esta entrada, me he decidido a escribir de este teorema después de enterarme del fallecimiento de Kenneth Appel gracias a este post de Marta Macho en ZTFNewsKenneth Appel, matemático estadounidense, falleció el pasado 19 de abril a la edad de 80 años. Aunque hizo alguna aportación a la teoría de grupos, se le conoce principalmente por su demostración junto a Wolfgang Haken del teorema de los cuatro colores. En este obituario (en inglés) tenéis más información.


Parece entonces que ha quedado demostrado que todo mapa plano puede colorearse con, como mucho, cuatro colores de forma que regiones con frontera común tengan colores distintos. ¿Todos? ¿Hasta éste?

Este mapa fue propuesto por Martin Gardner como mapa que no podía colorearse con cuatro colores…un 1 de abril, día de los inocentes para el mundo anglosajón. Hablé sobre ello en este post, en el que propuse algunas otras inocentadas con las que el propio Gardner acompañó a la de este mapa. Evidentemente es falso que hagan falta cinco colores. Gardner recibió cartas con diversas formas de colorear el mapa con cuatro colores. Aquí os dejo una de Stan Wagon:

Y para terminar os dejo un entretenimiento. Si todo mapa plano puede colorearse con, como mucho, cuatro colores con la condición comentada antes, ¿por qué no plantearlo como un juego? ¿Serías capaz de colorear cualquier mapa plano que te dibujen con sólo cuatro colores? Demuéstralo jugando a Flood Fill, un adictivo juego que vi hace unos meses en Microsiervos en el que el objetivo es, precisamente, colorear con como mucho cuatro colores el mapa que nos proponen en cada uno de sus niveles. Al principio es fácil, pero conforme la cosa avanza el nivel de dificultad va subiendo. Por ejemplo, aquí tenéis una forma de pasarse el nivel 10:

Repito, es adictivo, mucho cuidado con él.

Más información en: Problema Colores_Granada_24abril09

Problema: Repartiendo el ganado

Se cuenta una historia de un granjero del lejano Oeste que, viendo que estaba ya muy viejo, llamó a sus
hijos y les dijo que quería dividir el ganado que les iba a traspasar en herencia antes de morir. Entonces
le dijo al mayor, “John, puedes coger todas las vacas que tú creas que puedes cuidar convenientemente,
y tu mujer, Nancy, se puede quedar con 1/9 de lo restante.”

A su segundo hijo le dijo, “Sam, como John escogió primero, puedes coger una vaca más que él, y para tu mujer,
Sally habrá también 1/9 de lo que quede.”

Al siguiente hijo, como a Sam, le dio una vaca más por haber sido los otros dos hermanos los que escogieran
primero. Y a su mujer 1/9 del resto.

Y así continuó con el resto de hermanos y sus mujeres hasta que todas las vacas fueron repartidas. Entonces
dijo, “Como los caballos valen el doble que las vacas dividiremos los caballos para que cada familia reciba
lo mismo.

¿Cuántos hijos tenía el granjero y cuántos caballos y vacas recibieron.

Extraído de http://www.puzzleclopedia.com/dividiendo-el-ganado/

Problema: Los tres alumnos y los sombreros

El profesor de Matemáticas llama a tres de sus alumnos, les enseña tres sombreros verdes y dos sombreros rojos, y les dice: “Os voy a colocar a cada una de vosotros un sombrero en la cabeza. El primero que me indique el color del suyo le pongo cinco positivos, pero si falla le colocaré veinte negativos”.

Si los alumnos están en fila, de manera que el primero no puede ver los sombreros de los otros dos; el segundo ve el sombrero del primero; y el tercero ve los sombreros de los otros dos. ¿Cómo puede ser que una de las niñas obtenga la bolsa de caramelos?

Problema: Los números y las casillas

Colocar en un cuadrado de 3 x 3, un número en cada casilla, teniendo en cuenta que:

a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior.

b) 5,7,9, están en la horizontal inferior.

c) 1, 2, 3 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda.

d) 1, 3, 4, 5, 8, 9 no están en la vertical derecha.

Problema: El monje señalado

En un monasterio hay mas de 50 monjes, todos ellos son expertos en lógica. Están todo el día cada uno en su celda, para la cena se reúnen en una mesa redonda donde se pueden ver las caras, cenan y vuelven a sus celdas, este es el único momento del día en que se ven. Han hecho voto de silencio, no pueden gesticular ni comunicarse de ningún modo y no hay espejos en el monasterio ni forma alguna de verse reflejado.

Un día, llega el padre prior y antes de empezar a cenar les dice: uno o mas de ustedes han sido señalados por un ángel que les ha hecho una marca roja en la frente. Aquellos que tengan la marca deben salir en peregrinación en cuanto lo sepan . luego el padre prior se marcho sin indicar quienes eran los elegidos. Tras 7 días, todos los monjes con la marca roja se dieron cuenta de que estaban señalados y sólo ellos salieron en peregrinación.

¿Cuántos eran los monjes elegidos? ¿Cómo se dieron cuenta de ello?.