Antenas parabólicas

Las antenas parabólicas tienen una forma especial de paraboloide, obtenida al girar una parábola alrededor de su eje de simetría. Se trata de una curva formada por un conjunto de puntos que son equidistantes de un punto (foco) y de una recta.

La principal virtud que presenta la parábola es que, si llega cualquier onda (luz, emisión de radio, emisión de radio, emisión de televisión, etc.) paralela al eje, se reflejará en la curva e incidirá en el foco. Así, la antena una vez bien orientada reconduce todo lo que le llega al foco y de ahí a la pantalla del televisor. Si la antena fuera un espejo, toda la luz iría al foco y se podría cocinar en él. Sin embargo, la antena del balcón concentrará centenares de canales de televisión.

Si cuando te pones bebida en un vaso, agitas la base del vaso circularmente, verás que la superficie de ésta adopta la forma de un paraboloide como el de la antena. Es más, el gesto de entrecerrar la mano y adaptarla al pabellón de tu oreja mientras pronuncia la habitual frase: “¿qué me estás diciendo?”. Se trata de un intento desesperado de crear una parabólica para que las ondas acústicas se reflejen en la palma de tu mano, se concentren en el foco y al  estar éste en la espiral de tu oreja, pueda oír el ansiado mensaje.

Advertisements

Geometría del balón de fútbol

Extraído de http://www.sinewton.org/numeros/numeros/80/Experaula_01.pdf

Por José María Sorando Muzás (Instituto de Enseñanza Secundaria Elaios. Zaragoza)

Esfericidad

Si te fijas en un balón de fútbol, observarás que no es una esfera sino un poliedro que, al ser hinchado con aire, adopta una forma bastante esférica. Se trata de un poliedro arquimediano, el icosaedro truncado, un poliedro así llamado por ser el que se obtiene cuando a un icosaedro le cortamos las 20 esquinas a distancias iguales de cada vértice (cada corte es de un tercio de la arista). Está formado por 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares; y tiene 90 aristas. Este poliedro ocupa un volumen del 86,74% de la esfera circunscrita (figura 5); porcentaje que aumenta hasta el 95% al ser inflado (figura 6)

Sin título

Hay otro poliedro que permitiría conseguir balones más esféricos. Se trata del Rombicosidodecaedro (figura 7), cuyas caras son 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares; tiene 120 aristas y antes de ser inflado ya ocupa más el 94,5% de la esfera. Pero la industria no ha adoptado esta solución porque aumenta bastante la complejidad de la fabricación (120 costuras que coser, frente a las 90 del icosaedro truncado).

Sin títulow

Ambos poliedros pertenecen a la clase de los llamados poliedros arquimedianos, cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos diferentes, a diferencia de los poliedros regulares, formados por polígonos regulares todos iguales entre sí. Además, en ambos tipos de poliedros, en cada vértice concurre el mismo número y tipo de caras en el mismo orden.

Control de calidad y dispersión estadística

Un balón de fútbol será mejor cuanto más próximo esté a ser una esfera perfecta. En ese caso, tendrá más equilibrio en su trayectoria y permitirá a los futbolistas mayor precisión en los pases y tiros. La revista Consumer – Eroski (n.º 123, julio-agosto 2008) nos explica cómo se controla la calidad de los balones:

“Para determinar la esfericidad de un balón se hincha y se mide su diámetro en 16 puntos diferentes para calcular el diámetro medio. Después, se calcula la diferencia entre el diámetro máximo y el mínimo. Así, el número que se obtiene es la diferencia en porcentaje entre el diámetro máximo y mínimo sobre el diámetro medio. A los balones oficiales para las competiciones de la FIFA se les exige que no superen el 2%. Umbro, con un 2,2%, no es lo suficientemente redondo. Matt (2%) y Joma (1,9%) mostraron valores de esfericidad aceptables, pero elevados. Las esferas mas perfectas fueron las de Astore (1,3% de esfericidad) y Diadora (1,3%)”.

Observa que, para valorar la esfericidad de los balones, la FIFA está midiendo la dispersión estadística de 16 medidas y calcula su media aritmética. Al restar de la mayor medida la menor, calcula lo que en Estadística llamamos el rango de esa distribución de datos. Luego valora ese rango como porcentaje sobre la media. Es una forma propia de medir la dispersión, no coincidente con los métodos habituales (desviación media y desviación típica), pero perfectamente válida.

Jabulani, ¿el balón perfecto?

Para el Mundial de Sudáfrica 2010 se encargó a la Universidad británica de Loughborough el diseño del balón más perfecto posible. Se tardó 3 años en diseñar Jabulani (imagen 6), cuyo nombre significa “celebración” en zulú. Una de las principales diferencias con respecto a los balones tradicionales, es que Jabulani es una bola formada por 8 piezas tridimensionales curvas que se unen entre sí en caliente. No es un poliedro, sino que ya es esférico antes de ser inflado.

Y sin embargo, durante el Mundial ese balón recibió muchas críticas. Famosos lanzadores de faltas lo enviaban a las gradas y buenos porteros no lograban atraparlo (“hubiera preferido jugar Matemáticas y deportes. Sugerencias para el aula J. M. Sorando Muzás 207 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 80 julio de 2012 E X P E R I E N C I A S D E A U L A con una pelota de playa”, dijo Julio César, portero de Brasil). Estudios posteriores del ingeniero Takeshi Asai, de la Universidad de Tsukuba en Japón en un túnel de viento, han revelado que la razón de su comportamiento impredecible es precisamente consecuencia de no ser un poliedro: no tiene aristas, es decir, no tiene costuras. Parece ser que las costuras son pequeños surcos que crean turbulencias, microcorrientes de aire que estabilizan el balón en su vuelo. Sin ellos, aumenta su velocidad un 5% y su trayectoria es más inestable” .

La estrella Pitagórica: cálculo de áreas

LA ESTRELLA PITAGÓRICA (SOLUCIÓN) Este problemilla es un pequeño homenaje al número áureo y al estudio de figuras semejantes: Extraído de http://mateiestiernomoncada.blogspot.com.es/2011/04/la-estrella-pitagorica.html Hemos de partir de unos pequeños conocimientos previos. 1) Si dibujamos la estrella pitagórica uniendo los vértices de un pentágono … Continue reading

Conceptos geométricos

  • Un paralelepípedo es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo.
  • Un paralelepípedo es un hexaedro con tres pares de caras paralelas.
  • Un paralelepípedo es  un prisma cuya base es un paralelogramo.
  • El paralelepípedo pertenece al grupo de los prismatoides.
  • Prismatoides son aquellos poliedros en los que todos los vértices se encuentran contenidos en dos planos paralelos.
  • Un ortoedro es un paralelepípedo en el que todas sus bases son rectángulos, y por tanto todas sus caras son perpendiculares entre sí, es un ortoedro. Es un caso particular del paralelepípedo recto.
  • Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rombos es un romboedro.
  • Un paralelepípedo en el que todas sus bases son cuadrados es un hexaedro regular o cubo
  • Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rectángulos, y por tanto todas sus caras son perpendiculares entre sí, es un ortoedro. Es un caso particular del paralelepípedo recto.
  • Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rombos o romboedros.
  • Un paralelepípedo en el que todas sus bases son cuadrados es un hexaedro regular o cubo.
  • Un cubo o hexaedro es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos.
  • Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base.
  • El hexaedro regular, al igual que el resto de los sólidos platónicos, cumple el Teorema de poliedros de Euler, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (8+6=12+2).
  • Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatrovértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360°.Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos.
  • Clasificación de los cuadriláteros

    Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores:

    1. Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos.

    • Cuadrado todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre si. Son bisectrices.
    • Rombo todos sus lados son iguales, sus ángulos interiores no son rectos, son iguales los opuestos, agudos y obtusos, sus diagonales son distintas (mayor y menor) y perpendiculares entre sí, son bisectrices, su circunferencia es inscrita.
    • Rectángulo sus lados son iguales dos a dos (los paralelos), todos sus ángulos interiores son rectos, todas sus diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre si y su circunferencia es circunscrita.
    • Romboide sus lados son iguales dos a dos (dos lados menores iguales y dos lados mayores iguales).

    2. Trapecios: solo dos de sus lados son paralelos; los otros dos no.

    • Trapecio rectángulo es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.
    • Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida. Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí.Las diagonales son congruentes. La suma de los ángulos opuestos es 180°.
    • Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo, la medida de sus lados da como resultado medidas diferentes. Sus cuatro ángulos internos poseen diferentes medidas.

    3. Trapezoide: es un cuadrilatero convexo en el cual ningun par de lados opuestos es paralelo.

  • En geometría, un prisma es un poliedro con una base poligonal de n lados, una copia de traslación (no en el mismo plano que la primera), y otras n caras (todas necesariamente deben ser paralelogramos) que une los lados correspondientes de las dos bases. Todas las secciones transversales paralelas a las caras de la base son iguales. Los prismas se nombran para su base, por lo que un prisma de base pentagonal se llama un prisma pentagonal. Los prismas son una subclase de los prismatoides.

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.

El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.

Tipos de pirámides[editar]

Pirámide oblicua. Los vértices están marcados en naranja y las aristas en rojo. La línea amarilla es una diagonalde la base.

Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.

Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.

Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.

Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.

Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

¿Por qué las abejas adoran los hexágonos?

Extraído de http://www.iflscience.com/physics/why-do-honey-bees-make-hexagonal-honeycomb

Las abejas pueden ser extremadamente inteligente. No sólo aprenden a superar los obstáculos mediante la acción, pero pueden realmente aprender observando a otros también. Las abejas son también brillantes matemáticos. Las abejas realizan una danza de la abeja que utiliza la velocidad y direccionalidad para comunicar la ubicación de los recursos en relación con su posición actual y el sol. Durante su historia evolutiva, han dominado el arte de almacenar la mayor cantidad de miel durante el uso de la menor cantidad de recursos. El secreto detrás de este nido de abeja es eficiente debido a su forma hexagonal.

Creación de la cera de abejas es un proceso bastante caro para la abeja, ya que consumen ocho onzas de miel para cada una onza de cera que crean. Por esta razón, es necesario asegurarse de que no están perdiendo recursos al crear las estructuras que albergarán el néctar y la miel. El secreto está en la geometría de las estructuras.

Echa un vistazo a este video de TED-ed por Zack Patterson y Andy Peterson que explora por qué el hexágono es la forma perfecta para las abejas, y por qué los círculos, triángulos, cuadrados, no.

 

 

 

La aerodinámica de Brazuca

La aerodinámica de Brazuca, el balón del Mundial de fútbol

Escrito por Francis Román Villatoro. Publicado: 8 de junio de 2014

Extraído de http://francis.naukas.com/2014/06/08/francis-en-rosavientos-noticias-para-manana-3/

Emitido en la sección ¡Eureka! en el programa de radio La Rosa de los Vientos, de Onda Cero. http://www.ondacero.es/audios/la-rosa-de-los-vientos_20140608.html  (Podcast del programa)

Aparte del pulpo Paul, que adivinó la victoria de España en la final, una de las estrellas del Mundial de Fútbol 2010 en Sudáfrica fue el balón oficial, Jabulani de Adidas, muy criticado por los jugadores porque su trayectoria era difícil de prever. ¿Se sabe por qué era un balón tan difícil de controlar? El balón de fútbol más popular está formado por 32 paneles, 12 pentágonos y 20 hexágonos, unidos entre sí por 90 costuras. Su geometría es la de un icosaedro truncado, que cuando se infla tiene una forma bastante esférica, con un volumen superior al 95 % del una esfera con el mismo radio. El objetivo de diseño del balón oficial del Mundial de la FIFA de 2010 fue lograr un balón perfectamente esférico. El resultado, el balón Jabulani, tenía un volumen superior al 99% de una esfera del mismo radio y estaba formado por 8 paneles curvos unidos entre sí sin usar costuras gracias a un método térmico. Para mejorar el agarre del balón por parte de los porteros se dibujó una textura en forma de surcos en el balón. Pero en los disparos con efecto el balón se comportaba de forma diferente a un balón convencional, lo que despistó a muchos jugadores y provocó muchas críticas. Las costuras del balón son claves en su aerodinámica.

Más información en “Brazuca, el balón del Mundial de fútbol, es el más estable gracias a la ciencia,” Agencia SINC, 29 May 2014; Sungchan Hong, Takeshi Asai, “Effect of panel shape of soccer ball on its flight characteristics,” Scientific Reports 4: 5068, 29 May 2014.

 

Dibujo20140607 soccer balls used for the test and their panel orientations - srep05068-f2

El efecto aerodinámico de las costuras del balón nos hacen pensar en los pequeños hoyos que se observan en las bolas de golf. Muchos aficionados se preguntarán ¿por qué las bolas de golf tienen esos pequeños hoyos en su superficie? Hay dos tipos de bolas de golf, el modelo británico que presenta 330 alveolos en su superficie y el modelo estadounidense que usa 336 alveolos. Esta textura de la bola de golf permite alcanzar grandes distancias (de hasta 230 metros) porque reduce la resistencia aerodinámica sobre la bola. En un bola en vuelo, el flujo de aire se agarra a la bola en la parte delantera formando lo que se llama una capa límite. Esta capa límite se separa en la parte trasera de la bola formando una estela. Cuanto mayor se la región de separación, mayor será la resistencia aerodinámica. La separación ocurre antes cuando el flujo es laminar y se retrasa en el caso turbulento. La rugosidad de la superficie de la bola de golf provoca que el flujo de aire cambie de laminar a turbulento, con lo que permanece más tiempo unido a la bola y la región de separación es más pequeña. Con las costuras del balón de fútbol ocurre algo parecido, el flujo de aire se vuelve asimétrico debido a las costuras lo que ayuda mucho en los disparos con efecto. Este efecto es mucho más pequeño en un balón muy liso, como Jabulani. Los jugadores acostumbrados a jugar con un balón convencional encontraron grandes dificultades para adaptarse a un balón tan liso como Jabulani.

Dibujo20140607 Variation drag coefficient with type of ball and panel orientation - srep05068-f3

El balón oficial para el Mundial de Fútbol de 2014 en Brasil, también de Adidas, se llama Brazuca y promete ser mucho más estable que Jabulani. ¿Se han realizado estudios científicos para comprobarlo? El nuevo balón oficial, Brazuca de Adidas, tiene solamente seis paneles de poliuretano que se unen de forma térmica para lograr un gran esfericidad, como en Jabulani. Sin embargo, se ha dotado al balón de una textura similar a la de una pelota de baloncesto. Esta novedosa textura mejora mucho la aerodinámica del balón. Investigadores del Instituto de Salud y Ciencias del Deporte de la Universidad de Tsukuba, en Japón, han llevado a cabo un estudio detallado del balón Brazuca. Sungchan Hong y Takeshi Asai publican en la revista Scientific Reports una comparación empírica entre cinco balones de fútbol diferentes: Brazuca (Adidas, seis paneles), Cafusa (Adidas, 32 paneles), Jabulani (Adidas, 8 paneles), Teamgeist 2 (Adidas, 14 paneles) y un balón convencional (Vantaggio, 32 paneles).

Dibujo20140607 Photograph of the wind tunnel test setup - srep05068-f1

En el túnel de viento se usaron dos orientaciones diferentes de los paneles del balón respecto al movimiento del aire. Los resultados demuestran que la resistencia aerodinámica varía mucho con el tipo de balón y con la orientación de los paneles. El balón más estable y con mejor aerodinámica es el nuevo balón Brazuca, seguido, sorprendentemente, del balón convencional de 32 paneles; el peor balón fue Jabulani, algo que no sorprenderá a nadie, pues es demasiado liso.

Dibujo20140607 Multi-purpose Kick Robot - Sungchan Hong, University of Tsukuba JAPAN

Además de las pruebas en túnel de viento se han realizado un análisis de la trayectoria del balón en disparos realizados por un robot que chuta el balón de forma automática y repetible. Según este estudio, la textura rugosa del balón, parecida a la de los balones de baloncesto, es la clave que garantiza una alta estabilidad y un control preciso para los delanteros, y al mismo tiempo facilita el agarre por parte de los porteros.

Las grandes figuras de fútbol son capaces de lanzar a puerta, a balón parado, con barrera incluida, logrando una curvatura de la trayectoria del esférico que esquiva la barrera y engaña al portero. ¿Cómo se logra este “toque mágico” en disparos que parecen imposibes? La física explica estos disparos sorprendentes gracias al llamado efecto Magnus. El jugador golpea el balón de tal forma que lo pone a girar durante su trayectoria. Cuando la pelota rota en vuelo, como el flujo de aire se agarra al balón, a un lado del balón el aire se mueve un poco más rápido, ya que se suma la velocidad de rotación del balón, y al otro lado se mueve un poco más lento, porque hay que restar la velocidad de rotación del balón. Como resultado, a ambos lados del esférico el aire se mueve a diferente velocidad y por el llamado principio de Bernoulli, en la zona donde se mueve más rápido la presión lateral al balón es más pequeña. Esta diferencia de presión a ambos lados de la pelota crea una fuerza neta, la fuerza de Magnus, que curva la trayectoria del balón. La dirección de curvatura depende de si el balón gira en el sentido de las agujas del reloj, con lo que se curva hacia la izquierda, o en el sentido antihorario, curvándose hacia la derecha. El giro del esférico hace que el plano de su trayectoria se curve y en los disparos libres a puerta, el balón puede esquivar la barrera y alcanzar la portería. En cierto sentido los jugadores de fútbol son físicos experimentales que aprenden a controlar el efecto Magnus gracias a la práctica.

Proyecto-taller de Geometría: crear una ciudad

maqueta de volumen

Extraído de http://jonhernandez.wordpress.com/2011/06/24/proyecto-iniciacion-al-calculo-del-volumen-6%C2%BA-de-primaria/

Publicado por jonhdzabaitua  (http://jonhernandez.wordpress.com),  el 24 de  junio de 2011

Proyecto de Geometría.

Este fin de curso he realizado un proyecto que viene muy bien para trabajar en competencias, y que realmente  ha sido muy satisfactorio.

He añadido al típico taller de crear una ciudad con figuras geométricas,  una pequeña condición que lo ha cambiado todo.

La suma de todos los volumenes de la ciudad deben dar un número exacto de decímetros cúbicos.

El protocolo del taller ha sido el siguiente:

  1. Organización de grupos (4 por grupo)
  2. Explicación del proyecto
  3. Explicación de la construcción de un prisma cuadrangular (figura más sencilla)
  4. Explicación del cálculo del volumen del prisma cuadrangular.
  5. Recordar como se pasa de centímetros cúbicos a decímetros cúbicos
  6. Sugerir que se pueden construir otras figuras pero que deberán investigar como construirlas y como calcular sus volúmenes (decirles que recibirán nuestra ayuda puntual si la necesitan)

El objetivo es construir cuatro figuras por grupo al día (1 hora de clase)

Ha sido increíble la atención que han puesto en las explicaciones de las fórmulas de volumen. Es importante hacerlo siempre con la figura en la mano.

Podéis descargar las plantillas para poliedros de esta dirección:

+ Descargar plantillas

Proyecto: calculando áreas con un Tangram

Proyecto de áreas

Publicado por jonhdzabaitua (http://jonhernandez.wordpress.com), 27 de abril de 2012

Extraído de http://jonhernandez.wordpress.com/2012/04/27/proyecto-de-areas-para-5o-de-e-primaria/

Estoy dando la iniciación a las áreas de polígonos en 5º de E. Primaria. He preparado un proyecto para afianzar el cálculo de las áreas de las figuras que nos dan en este curso. Cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, triángulo. Para ello les he preparado una plantilla basada en el TANGRAM. Los pasos a seguir son los siguientes (se supone que ya les hemos dado las fórmulas que necesitan para el cálculo de estas áreas.

áreas de las figuras básicasOs pongo también la plantilla para que la podáis descargar e imprimir. Se puede hacer individualmente, por parejas o por grupos.

+ Descargar la plantilla

1. Recorta las figuras.

2. Mide las áreas de todas ellas ysúmalas

3. Vuelve a juntar el cuadradopegando las figuras sobre una hoja blanca

4. Mide el área del nuevo cuadrado y comprueba que la suma de las figuras equivale al área del cuadrado resultante.

Material necesario:

  • Regla
  • Tijeras
  • Pegamento