La estrella Pitagórica: cálculo de áreas

LA ESTRELLA PITAGÓRICA (SOLUCIÓN)

Estrella pitagórica 2 (1)

Este problemilla es un pequeño homenaje al número áureo y al estudio de figuras semejantes:

Extraído de http://mateiestiernomoncada.blogspot.com.es/2011/04/la-estrella-pitagorica.html

Hemos de partir de unos pequeños conocimientos previos.
1) Si dibujamos la estrella pitagórica uniendo los vértices de un pentágono regular, se cumplen las siguientes relaciones:
los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado, están relacionados por el número aúreo  Ф, siendo Ф =  ( 1 + √5 ) / 2 = 1.618033989 aproximadamente, ya que es un número irracional de infinitas cifras decimales que no se repiten.
Rojo/Azul = Ф, Azul/Verde = Ф, Verde/Morado = Ф

2) La relación entre el lado de la estrella pitagórica y del pentágono
es también b / a =  Ф.

3) El área de un triángulo es:

A = b.h / 2

4) El área de un pentágono regular en función de su lado es:

(véase Polígono Regular en Wikipedia, la enciclopedia libre)

            A =  ( 5L2 / 4 ) . ( tan (3π / 10)) = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º)

 

5) Con estas relaciones, viendo que las figuras coloreadas de la misma forma son semejantes y paciencia podemos calcular las distintas áreas.

lado del pentágono verde =  5 / Ф3

lado del pentágono azul claro = 5 / Ф4

lado del pentágono fucsia  = 5 / Ф5 

lado mayor del triángulo rojo =  5 / Ф2

lado mayor del triángulo verde oscuro =  5 / Ф2

lado mayor del triángulo azul oscuro = 5 / Ф3

lado del triángulo amarilllo = 5 / Ф4

            Así, pues las distintas áreas son:
             Área del pentágono  verde   

           A  = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф6) . ( tan 27º) 

Área del pentágono azul claro 

A = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф8) . ( tan 27º)

        Área del pentágono fucsia 

     A = ( 5L2 / 4 ) . ( tan 27º) = ( 125 / 4 Ф10) . ( tan 27º)

Área roja = 5. área del triángulo rojo 

A =5.b.h / 2 = 5.( 5 / Ф3 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф3 = 125 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф6

Área verde oscura = 10. área del triángulo verde oscuro 

A =  10. ( 5 / Ф2 ). 5 √( 4Ф – 1 ) / 2Ф2 =125 . √ ( 4Ф – 1 ) /  Ф4  

       Área azul oscura = 25 . área del triángulo azul oscuro         

A = 5 . ( 5 / Ф4 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф4 = 625 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф8

 Área amarilla = 25. área del triángulo amarillo 
       A = 25 . ( 5 / Ф5 ). ( 5 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф5 = 625 . √ ( 4 Ф2 – 1 ) / 2 Ф10

Para un estudio más detallado de la presencia del número de oro, áureo o mágico, en nuestra vida os recomiendo la siguiente página:
 http://www.caminos.upm.es/matematicas/Fdistancia/MAIC/actividades/conferencias/conferencias/11.Numero%20de%20oro.pdf

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