Estupenda forma de aprender a resolver una ecuación cuadrática

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Handroica, una app de física para Android

La ‘app’ más científica

Investigadores de la Universidad de Granada desarrollan Handroica, una aplicación educativa dirigida a estudiantes, profesores y a cualquier persona interesada por la Física.

Extraído de http://www.lasprovincias.es/tecnologia/investigacion/201502/17/cientifica-20150217165051-rc.html
EDURNE MARTÍNEZ | MADRID; 17 febrero 2015

La 'app' muestra la potencialidad de los teléfonos inteligentes.

Los interesados por la Física tienen ahora la posibilidad de conocer más acerca de ella gracias a una aplicación para móviles y tablets Android desarrollada por científicos de la Universidad de Granada (UGR). Esta ‘app’ permite determinar la fuerza nuclear y predice las propiedades de estructura del núcleo de helio-4 y de materia nuclear.

El objetivo de esta aplicación denominada Handroica es, por un lado, divulgar algunos de los métodos de la física nuclear implementando un cálculo completo ‘ab initio’, es decir, los que asumen leyes básicas y bien establecidas. En segundo lugar, la ‘app’ demuestra la potencialidad de los ‘smartphones’ como herramienta de trabajo para uso científico. Uno de los desarrolladores, José Enrique Amaro, asegura que la potencialidad de los teléfonos inteligentes hará que “en pocos años el ‘smartphone’, la televisión y el ordenador funcionen fusionados”.

“En pocos años el ‘smartphone’, la televisión y los ordenadores funcionarán fusionados”
Así, pone de manifiesto la potencia de cálculo de los dispositivos portátiles, ya que la ‘app’ se encarga de realizar cálculos de mecánica cuántica avanzada y minimización de funciones con muchas variables en tiempo real. Los resultados de este cálculo con un teléfono son similares a los que se obtienen por otras técnicas complicadísimas con ordenadores de gran potencia.

Por último, este proyecto pretende fomentar el uso del lenguaje de programacón Android entre investigadores, profesores y estudiantes de la rama más científica. Los alumnos de 4º curso del grado en Física de la UGR son los primeros en estar usando esta aplicación en su proyecto de innovación docente titulado ‘Aplicaciones educativas en fñisica para dispositivos Android’.

Amaro explica que han obtenido resultados “satisfactorios” ya que ha sido un ejercicio muy útil para ellos y para el profesor ya que esta herramienta permite resolver varios problemas concretos de forma interactiva, obteniendo los resultados numéricos y representaciones gráficas al momento. “Este sistema de simulaciones y problemas interactivos abre muchas posibilidades en la enseñanza”, comenta el profesor.

Método online para mejorar la atención y la memoria

http://www.smartickbrain.com/

  • Son ejercicios y actividades que se hacen en una web
  • Mejoran la atención, memoria, percepción y razonamiento
  • El programa recomienda ejercicios cognitivos personalizados

Portada de SmartickGames, un nuevo método online para mejorar el rendimiento académico.Portada de SmartickGames, un nuevo método online para mejorar el rendimiento académico.UGR

RTVE.es 04.11.2014SmartickGames es el nombre de un nuevo método desarrollado por investigadoras de la Universidad de Granada y la empresa Smartick para permitir que los niños mejoren habilidades como la atención, la memoria, la percepción y el razonamiento, así como su rendimiento académico, a través de actividades online.

La investigadora del departamento de Psicología Experimental de la UGR, Mª Rosario Rueda, ha explicado que han diseñado la aplicación con un conocimiento que permite establecer tareas que saben “entrenan procesos básicos de atención, memoria, razonamiento, etc”.

“El entrenamiento de estos procesos básicos produce mejoras en las facultades cognitivas que son medibles tanto a nivel cognitivo como a nivel de funcionamiento cerebral”, ha indicado.

Entrenamiento cerebral

Así, en la web del proyecto SmartickGames se podrán encontrar ejercicios de entrenamiento cerebral para mejorar habilidades cognitivas como la atención y la memoria, necesarias para aprender matemáticas de forma óptica.

La aplicación analiza los datos de ejecución de los niños, puede detectar carencias en determinadas habilidades y proponer ejercicios que ayuden a mejorarlas.

Asimismo, el programa permite medir la mejora en la competencia matemática en función del entrenamiento cognitivo realizado, es decir, ver qué tipo de problemas se realizan mejor después de haber completado su sesión con determinados ejercicios.

Por su parte, el socio fundador de Smartick, Daniel González de Vega, ha explicado que los algoritmos del programa seleccionan el tipo de actividad y el nivel de dificultad que mejor se adapta a cada niño.

“Permite prescribir itinerarios de entrenamiento cognitivo personalizados basados en el rendimiento de ejercicios matemáticos y, en función del comportamiento y resultados en los juegos didácticos del entrenamiento, sugiere cambios en el plan de estudio de los ejercicios matemáticos”, ha aclarado.

Proyecto innovador de Horizonte 2020

El proyecto, que también estará disponible para los miles de niños que aprenden matemáticas con Smartick, cuenta con el apoyo, del Centro de Investigación Mente, Cerebro (CIMCYC) de la UGR -líderes en las áreas de neurociencia cognitiva, memoria y lenguaje- y ha sido seleccionado por la Comisión Europea como uno de los proyectos europeos más innovadores y disruptivos del programa Horizonte 2020.

Las actividades de SmartickGames han sido diseñadas por un equipo de profesionales expertos en psicología infantil y neuropsicología, asesorados científicamente por investigadores de la Universidad de Granada.

La profesora de la UGR, Mª Rosario Rueda ha trabajado durante cuatro años en grupos de investigación punteros en EE. UU., y continúa colaborando en proyectos conjuntos con universidades americanas.

Rueda, junto a Teresa Bajo -adscritas al departamento de Psicología Experimental- son expertas en el estudio de habilidades cognitivas superiores en humanos, así como el desarrollo de estas habilidades y la elaboración de programas de fomento de tales habilidades a lo largo de la vida.

El problema de los colores

http://www.gimme5games.com/play-game/flood-fill

Seguro que muchos de los lectores de este blog conocen el teorema que da título a esta entrada. El teorema de los cuatro colores es un importante (y bastante conocido) resultado de teoría de grafos que, aunque ha sido citado ya por aquí, no tenía un post dedicado a él. Creo que hoy, después de conocer el fallecimiento de Kenneth Appel (uno de los matemáticos que lo demostró) el pasado 19 de abril, es un buen día para ello.

Comencemos con algo de la historia del problema. A mediados del siglo XIX Francis Guthrie se dio cuenta mientras coloreaba un mapa de los condados de Inglaterra de que necesitaba al menos cuatro colores para que se cumpliera la condición de que dos regiones con frontera común tuvieran colores distintos (si dos regiones se tocan en un único punto se entiende que no tienen frontera común). Francis le comentó el tema a su hermano Frederick, que a su vez se lo planteó a Augustus de Morgan (profesor suyo en un curso de matemáticas en aquel momento), que aunque no supo responderle se encargo de difundir el asunto entre otros matemáticos. En 1878 Arthur Cayley lo presenta formalmente a laLondon Mathematical Society y así el problema queda abierto con un enunciado como éste:

Todo mapa plano puede colorearse con, como máximo, cuatro colores con la condición de que regiones con frontera común tengan colores distintos.

El años siguiente, 1879, es una fecha importante en relación con este problema. Ese añoAlfred Kempe publica una demostración del mismo. En efecto parece ser que con cuatro colores era suficiente y el problema estaba resuelto…

…y así fue hasta 1890, año en el que Percy Heawood encontró un error insalvable en la demostración de Kempe, por lo que el problema volvía a estar abierto. A partir de aquí muchos matemáticos (entre ellos el propio Heawood) atacaron el problema, pero ninguno de ellos consiguió dar con la tecla…y nunca mejor dicho.

Pero todos esos intentos fallidos no fueron en vano. Por el camino quedaron demostraciones de que para colorear un mapa dibujado en un toro hacen falta, como máximo, siete colores, y que para colorear uno mapa en una banda de Möbius hacen falta, a lo sumo, seis colores. También se demostró que cinco colores eran suficientes para un mapa plano. Pero parecía que todos los mapas podían colorearse con cuatro, que no nos hacían falta esos cinco…

Por cierto, hemos comentado al principio que este problema pertenece a la teoría de grafos, pero no hemos dicho cómo relacionar mapas con grafos. Lo que se hace a partir de cada mapa plano es calcular su grafo dual, que se construye asignando un vértice a cada región y uniendo dos vértices con una arista si en el mapa las dos regiones correspondientes a dichos vértices tenían frontera común. Por ejemplo, este mapa de Castilla-La Mancha.

tendría como grafo dual al siguiente grafo:

De esta forma el problema queda planteado de la siguiente forma:

¿Es cierto que los vértices de todo grafo plano pueden colorearse con, a lo sumo, cuatro colores de forma que dos vértices unidos por una arista tengan colores distintos?

Por ejemplo, el mapa anterior (y, por tanto, también su grafo dual) puede colorearse con, en este caso, tres colores:

Con todo esto entramos en el siglo XX y sobre 1950 se comienza a pensar que los ordenadores podrían ser de gran ayuda en este problema. El matemático alemán Heinrich Heesch fue uno de los pioneros en este sentido, y sus investigaciones acabaron siendo fundamentales para el desenlace del asunto. Pero los auténticos protagonistas de la demostración del teorema de los cuatro colores son Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Ellos fueron los que, en 1976, anunciaron que “Cuatro colores son suficientes”. La demostración que presentaron no es de las, digamos, “habituales”, ya que una buena parte de la misma se realizó con ayuda del ordenador. Más adelante se presentaron mejoras a la demostración de Appel y Haken, y hasta hay alguna propuesta que no utiliza ordenador (que, hasta donde yo sé, no está confirmada como correcta), pero ellos fueron los primeros.

En la actualidad, la opinión más extendida es que el teorema de los cuatro colores está demostrado, aunque quedan escépticos que consideran que no es “lícito” utilizar el ordenador de la forma en la que se hace en estas demostraciones. Sobre todas ellas tenéis más información en el pdf de Marta Macho que enlazo al final de esta entrada.

Kenneth Appel

Fallecimiento de Kenneth Appel

Como decía al comienzo de esta entrada, me he decidido a escribir de este teorema después de enterarme del fallecimiento de Kenneth Appel gracias a este post de Marta Macho en ZTFNewsKenneth Appel, matemático estadounidense, falleció el pasado 19 de abril a la edad de 80 años. Aunque hizo alguna aportación a la teoría de grupos, se le conoce principalmente por su demostración junto a Wolfgang Haken del teorema de los cuatro colores. En este obituario (en inglés) tenéis más información.


Parece entonces que ha quedado demostrado que todo mapa plano puede colorearse con, como mucho, cuatro colores de forma que regiones con frontera común tengan colores distintos. ¿Todos? ¿Hasta éste?

Este mapa fue propuesto por Martin Gardner como mapa que no podía colorearse con cuatro colores…un 1 de abril, día de los inocentes para el mundo anglosajón. Hablé sobre ello en este post, en el que propuse algunas otras inocentadas con las que el propio Gardner acompañó a la de este mapa. Evidentemente es falso que hagan falta cinco colores. Gardner recibió cartas con diversas formas de colorear el mapa con cuatro colores. Aquí os dejo una de Stan Wagon:

Y para terminar os dejo un entretenimiento. Si todo mapa plano puede colorearse con, como mucho, cuatro colores con la condición comentada antes, ¿por qué no plantearlo como un juego? ¿Serías capaz de colorear cualquier mapa plano que te dibujen con sólo cuatro colores? Demuéstralo jugando a Flood Fill, un adictivo juego que vi hace unos meses en Microsiervos en el que el objetivo es, precisamente, colorear con como mucho cuatro colores el mapa que nos proponen en cada uno de sus niveles. Al principio es fácil, pero conforme la cosa avanza el nivel de dificultad va subiendo. Por ejemplo, aquí tenéis una forma de pasarse el nivel 10:

Repito, es adictivo, mucho cuidado con él.

Más información en: Problema Colores_Granada_24abril09

La estrella Pitagórica: cálculo de áreas

LA ESTRELLA PITAGÓRICA (SOLUCIÓN) Este problemilla es un pequeño homenaje al número áureo y al estudio de figuras semejantes: Extraído de http://mateiestiernomoncada.blogspot.com.es/2011/04/la-estrella-pitagorica.html Hemos de partir de unos pequeños conocimientos previos. 1) Si dibujamos la estrella pitagórica uniendo los vértices de un pentágono … Continue reading

Ecuaciones… ¡fundamentales!

Diez ecuaciones matemáticas que cambiaron la historia

Han sido los modelos de ecuaciones matemáticas los que a lo largo de la historia han dado respuestas tangibles al funcionamiento de lo que nos rodea permitiéndonos conocer mucho mejor nuestro entorno y los acontecimientos que suceden ante nuestros ojos. Estas son diez de las ecuaciones que cambiaron la historia y permitieron al hombre comprender el funcionamiento de un mundo hasta ese momento desconocido.

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matematicas

4 DE MAYO DE 2014
Desde los inicios de los tiempos, el hombre ha intentado comprender cómo funciona el mundo a través de los diferentes elementos que lo componen dando respuestas a las preguntas que se han ido encontrando mediante la expresión matemática. Desde el teorema de Pitágoras, que vincula la geometría y el álgebra, y que sentó las bases de las mejores teorías actuales de espacio, tiempo y gravedad, a la forma en la que la ecuación de Black-Scholes se aplica al cambio en el valor de las opciones, las ecuaciones matemáticas han dado respuesta a todos los interrogantes. Estos son los diez modelos matemáticos que ayudaron a cambiar el mundo y que nos han permitido comprender parte de lo que nos rodea de una forma más sencilla:

Teorema fundamental del cálculo

calculo

El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que laderivación e integración de una función son operaciones inversas, por lo que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. El cálculo, cuyo teorema central es el expresado anteriormente, es uno de los principios matemáticos más importantes de la historia ya que hasta su expresión, la base del cálculo se basaba en el trabajo de Arquímedes, una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial y que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII. En particular, ellos advirtieron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas.

Teoría de la relatividad especial

Relatividad

Aunque la palabra relatividad nunca apareció en la obra original de Einstein llamada Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, es sin duda una de las obras y una de las aportaciones más importantes del autor a la humanidad del siglo XX. Con la relatividad especial y la relatividad general, Albert Einsten pretendía resolver la incompatibilidad hasta el momento existente entre la mecánica newtoniana, que estudiaba el movimiento de partículas y sólidos en un espacio euclídeo tridimensional, y el electromagnetismo, cuyos principios fueron sentados por Michael Faraday.

Teorema de Pitágoras

Pitagoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este es uno de los principios más importantes aportados por la escuela pitagórica encabezada por el que es considerado el primer matemático puro, Pitágoras de Samos, en el siglo V antes de Cristo. Su escuela de pensamiento afirmaba que la estructura del universo era aritmética y geométrica, a partir del cual las matemáticas se convirtieron en una disciplina fundamental para toda investigación científica. El teorema de Pítagoras es uno de los teoremas más importantes de la matemáticas que se suele enseñar en la mayoría de las escuelas a temprana edad, un de los principios más fáciles de comprender, pero que esconde la base de la geometría más importante de la historia.

Ley de gravitación universal

gravedad

Presentada por Isaac Newton en 1687 en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, constituye una de las leyes físicas clásicas. En esta ley, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa: “Toda partícula material del universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.”

La Ecuación de Schrödinger

La Ecuación de Schrodinger

Una de las nociones básicas de la mecánica cuántica y el comportamiento de las partículas atómicas promulgada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en 1925. Se ha hecho bastante popular por la paradoja del gato de Schrödinger, un experimento mental en el que el famoso nobel nos propone un sistema formado por una caja cerrada y opaca que contiene un gato, una botella de gas venenoso, una partícula radiactiva con un 50% de probabilidades de desintegrarse en un tiempo dado y un dispositivo compuesto por un contador geiger tal que, si la partícula se desintegra, se rompe la botella y el gato muere, de forma que hasta que se abra la caja el gato podría estar tanto vivo como muerto. Lógicamente, la ecuación de Schrödinger es algo más compleja que la paradoja, pero bien sirve para ilustrar el principio.

Segunda ley de la termodinámica

termodinamica

La segunda ley de la termodinámica, que se puede enunciar de diferentes formas equivalentes, tiene muchas aplicaciones prácticas siendo uno de los principios físicos más importantes. Básicamente se trata de un enunciado que dice que la cantidad de entropía del universo tiende a incrementarse en el tiempo. Esta ley, en combinación con la primera ley de la termodinámica, pronostica la dirección que siguen los procesos naturales y las situaciones de equilibrio, es decir, que por ejemplo en un sistema el calor se transmite siempre de un cuerpo caliente a otro más frío hasta lograr un equilibrio térmico en una de forma unidireccional e irreversible.

Teorema de Euler para los poliedros

euler

Este teorema, enunciado por Euler en 1750, indica la relación de caras, aristas y vértices de un poliedro, tal que si C representa el número de caras del poliedro, A representa el número de aristas y V representa el número de vértices del poliedro entonces se cumple siempre y para todo que C+V-A=2. No importa cuantos cortes o cambios se le apliquen y lo irregular de la forma final, ya que la igualdad anterior seguirá siendo válida. El teorema de Euler es bastante popular en la educación en edades tempranas, puesto que permite a los estudiantes mejorar su capacidad espacial, visual y aritmética.

Distribución normal de Gauss

gauss

Este es, sin duda, el mayor aporte de la humanidad a la estadísticas puesto que se trata de una distribución de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales, ya que puede asumir un número infinito de valores dentro de un determinado rango, siendo una de sus características más importantes que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones.

Ecuación de onda

onda

La ecuación de onda es una de las ecuaciones diferenciales más importantes en derivadas parciales lineales de segundo grado que describe la propagación de la ondas, tales como las sonoras, ondas de luz, y agua. Es uno de los aportes más importantes a la acústica, a la dinámica de fluidos o al electromagnetismo.

Modelo Black-Scholes

Black–Scholes

Publicado por primera vez en Theory of Rational Option Pricing de Merton durante 1973, y desarrollado por Fisher Black y Myron Scholes, la fórmula de Black-Scholes es una expresión que proporciona el valor teórico de una opción Call o Put en el tiempo hasta su fecha de expiración mediante el precio actual del subyacente, la tasa anual de interés, el precio de ejercicio de la opción y la volatilidad del propio subyacente. Aunque la fórmula cambia si se trata de una opción de tipo Europea (al vencimiento) o Americana (en cualquier momento), es una de la herramientas más recientes, junto movimiento Browniano de los precios, para predecir el valor futuro de un activo.