5 problemas para resolver

Ponte a prueba: cinco problemas matemáticos

Os proponemos poner a prueba vuestro razonamiento matemático con cinco problemas planteados por José María Letona, director de la Escuela de Pensamiento Matemático Miguel de Guzmán. 

Por Mayte Rius. Extraído de http://www.lavanguardia.com/estilos-de-vida/20120608/54306942443/ponte-a-prueba-cinco-problemas-matematicos-y-sus-soluciones.html

1. Los torneos de tenis

El problema. En cualquier torneo de tenis que se precie, el número de participantes es tal que siempre pueden emparejarse, en cualquier ronda. Ese número (8,16,32,64, etcétera) es de los que los matemáticos llaman “potencias de 2” y con ellos calcular el número de partidos que habrá en el torneo es muy fácil. Por ejemplo: con 16 participantes, en la primera ronda habrá 8 partidos; 4 en la segunda; 2 en las semifinales, y luego 1, la final. En total, 15 partidos. Con 32 participantes, habrá esos 15 más los 16 primeros. Es decir, 31 partidos. En ambos casos hay un partido menos que el número de jugadores.

Si el número de participantes no es de ese tipo (potencia de 2), en algunas rondas habría un número impar de jugadores. Una opción razonable para evitar este problema es, en esos casos, elegir un jugador que, por sorteo, pasa a la ronda siguiente. Así, por ejemplo, con 13 jugadores pasarían a la ronda siguiente el elegido más los 6 ganadores de los 12 partidos restantes. De esos siete jugadores, por sorteo, se elige uno que pasa a la siguiente ronda junto a los tres ganadores de los seis partidos restantes. Estos 4 ya juegan como siempre, y el número total de partidos sería, entonces: 6+3+2+1= 12. ¡También uno menos! Y con 2.013 jugadores ¿también será uno menos? ¿Y con cualquier número?

2. Las taquillas de Matematilandia

El problema. Cada uno de los 1.000 vecinos de Matematilandia tiene una taquilla y el día de las fiestas populares montan un curioso juego. Va el más joven y abre todas las taquillas. El siguiente las cierra de dos en dos: es decir, acude a las taquillas 2, 4, 6, 8… y las cierra. El siguiente va de tres en tres: es decir, acude a las taquillas 3, 6, 9, 12… y las abre o las cierra según estén cerradas o abiertas, respectivamente. El siguiente, de cuatro en cuatro, hace lo mismo: abrir o cerrar. El vecino número 500 sólo acude a las taquillas números 500 y 1.000 y las abre o cierra según estén cerradas o abiertas. Y a partir de él, los vecinos número 501, 502, 503… hasta el 1.000 sólo acuden a una taquilla: la que indica su número y hacen lo mismo: abrirla o cerrarla según la encuentren cerrada o abierta, respectivamente. Al final del juego, por tanto, algunas taquillas estarán abiertas y otras cerradas. La pregunta al visitante es clara. Sin esperar a que acabe el juego, ¿sabría usted calcular el número de la última taquilla que quedará abierta?

 

3. El reparto de los cazadores

El problema. Dos cazadores se pierden en mitad de la cacería llevando uno 5 bollos de pan y el otro 3. Se encuentran con un tercer cazador que no lleva nada de comida pero sí 8 monedas, y acuerdan repartirse los 8 bollos de pan entre los tres, a partes iguales, y las 8 monedas entre los dos que aportan el pan. ¿Cómo debe hacerse, para que sea justo, el reparto de las 8 monedas?

4. Los números

El problema. Escoja los 6 números que quiera entre los diez primeros. ¿A que siempre hay entre los escogidos uno que es múltiplo de otro? Y si escogiera 17 números entre el 1, 2, 3, …, 32 ¿sería seguro que habría uno que sería múltiplo de otro? ¿Y si escogiera 2.000 entre el 1, 2, 3, …, 3.998? ¿Y si escoge la mitad más uno entre 1, 2, 3, …, 2n?

5. Las erratas

El problema. Antonio encuentra 40 erratas en un trabajo y Beatriz, independientemente, encuentra 33, de las cuales 24 están entre las encontradas por Antonio. ¿Cuántas erratas, aproximadamente, se les han escapado entre los dos? Pero si no sabemos el número de erratas del trabajo, ¿cómo vamos a averiguar el número de erratas que no han detectado? Pues se puede.

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