Vídeo interactivo: La historia de las Matemáticas

http://ares.cnice.mec.es/matematicasep/colegio/historia.html

“Las matemáticas han cambiado el modo en que miramos al cosmos”. Clifford A. Pickover.

La historia de las matemáticas se trata de un cómic interactivo que recorre algunos de los hitos más significativos de esta hermosa disciplina. Nos gusta la sencillez y claridad del relato. Además una cronología, una línea del tiempo… nos parecen recursos excelentes para reconstruir el pasado y así tratar de comprender mejor el momento actual. Este buen trabajo lo acompañaríamos con las siguientes consideraciones:

  • Dado que nunca se podrá reconstruir totalmente la Historia, cualquier aproximación implicará cierta subjetividad. Por ejemplo, Veguín Casas* toma en cuenta el pensamiento protogeométrico del paleolítico inferior a la hora de relatar la historia de las matemáticas en la península ibérica. Es decir, comienza su cronología hace 1 millón de años, cuando la funcionalidad de los primeros instrumentos líticos obligaba a plantearse “cuestiones de forma, tamaño, simetría y proporción”.
  • El desarrollo de una ciencia no es lineal ni se explica sólo a través de la “acumulación de descubrimientos e inventos individuales”, aunque una línea del tiempo contribuya a que parezca lo contrario. Siguiendo a Kuhn**, cada período histórico crea su propio relato y jerarquías en función de los paradigmas dominantes y/o en disputa, los que podrían ser desechados en otro momento dado, con una nueva perspectiva, rescatando ideas o procedimientos que habrían estado sumidos en el olvido.
  • Algunas veces no existe acuerdo sobre la datación de determinados hitos históricos y puede haber controversia.
  • El nombre de los descubrimientos también puede dar lugar a equívocos. Como el teorema de Pitágoras, que se conocía mucho antes del nacimiento de este gran pensador.
  • Y puestos a ser quisquillosos, en el siglo XXI, a la hora de analizar el desarrollo cultural o científico de los diferentes pueblos y sociedades, es muy cuestionable hacerlo en términos de “superioridad” o “inferioridad”. Se trata de valoraciones que, en nuestra opinión, responden a criterios muy subjetivos, determinan la calidad de las relaciones entre culturas diversas y actúan como fuente de prejuicios y discriminación.

Bibliografía:

 

El gordo de Navidad: probabilidad

Extraído de http://verne.elpais.com/verne/2015/11/23/articulo/1448292307_060274.html

Será el soniquete de los niños de San Ildefonso, que pensábamos que no iba a sobrevivir a las pesetas, será la inminencia de las fiestas navideñas (y lo bien que nos sentaría un “extra” para afrontar las compras), será lo que sea, pero la Lotería con mayúsculas sigue siendo la de Navidad. Ya quisieran otras marcas que su nombre quedase tan bien asociado a un momento especial del año.

Independientemente de campañas de publicidad, el sorteo de Navidad es diferente. En los que se hacen cada semana se saca una bola entre el cero y el nueve para cada una de las cinco cifras del premio que se está sorteando, por turnos. El sorteo navideño sigue un sistema distinto, hay un bombo enorme en el que están 100 000 bolas, cada una con un número distinto. Están todos: el que has comprado, el del curro, y el que pensaste comprar en el pueblo. Todos. Cien mil. Entre el 0 y el 99 999. En el bombo pequeño están los premios, el gordo, el segundo, los terceros… y las famosas pedreas, en total 1807 bolitas de madera de boj.

Este sistema nos hace mucho más fácil que calculemos la probabilidad de que nos toque un premio concreto, pongamos el gordo. Según la fórmula de Laplace, la probabilidad de que ocurra algo se calcula dividiendo el número de casos favorables entre el número de casos posibles.

¿Cuántos casos favorables hay? 1, un gordo.

¿Cuántos casos posibles hay? 100 000, los números distintos que hay.

Así que la probabilidad de que te toque el gordo es 1/100000 = 0,00001 podría parecer razonable (es mucho más que la probabilidad de que te toque la primitiva, pero es poquísimo, como nos recuerda el profesor David Orden).

La misma probabilidad que tienes para el gordo es la que tienes para que te toque el segundo premio, aclarando que este caso y el anterior son mutuamente excluyentes. Si te toca el gordo no te va a tocar el segundo premio, avaricioso. Lo mismo ocurriría con el tercero, los dos cuartos, los cinco quintos y el resto de premios, uno por cada una de las 1807 bolitas del bombo pequeño.

Además de estos premios hay otros que sí que se acumulan, los que consuelan a los décimos que “se parecen” al gordo (el anterior y el posterior, su centena…) además de las devoluciones a los números que acaban en la misma cifra del gordo, pero no te engañes: no juegas la lotería de Navidad para que te devuelvan el dinero, para eso es mucho mejor no jugarla.

Te dirán que hay terminaciones del gordo más probables que otras, “mira que el 5 es la terminación más repetida”. Para muchos es una señal de que es más probable, pero no, solo es señal de que hasta ahora se ha dado más veces, de que es más frecuente. Tampoco debemos pensar lo contrario, que es más difícil que salga el cinco porque “ya ha salido muchas veces”. Los juegos de azar no “compensan”. La famosa “regresión a la media” solo se da en infinitas jugadas, y esas infinitas jugadas son muchas jugadas. Como hay 10 terminaciones posibles, cada una se reparte un 10% de probabilidad, no de frecuencia.

Hay una idea muy extendida, la llamamos falacia del jugador, y lleva a pensar que si estás jugando a cara o cruz y llevas diez caras seguidas (cosa poco probable, pero sin duda posible) es mejor apostar cruz porque la suerte tenderá que compensar. Para nada, de hecho es casi mejor apostar cara, todo nos lleva a pensar que la moneda pueda estar descompensada y saque más caras que cruces.

¿Has oído que hay bolas más pesadas que otras? Claro ¿cómo va a pesar lo mismo la bola con el número 88 888 que la que lleva el 11 111? Pues no, aunque para escribirlo con bolígrafo necesites más tinta, la impresión con láser de las bolas ni suma ni resta a estas ningún miligramo a los 3 gramos que pesan y no hay ninguna razón para pensar “que caen” al fondo del bombo y es más probable que salgan.

Y no, no tiene sentido que hagas tres horas de cola en La Manolita. Todos los números tienen la misma probabilidad, y si hay administraciones que “suenan” más es por tradición, por buenas campañas publicitarias o porque en una combinación de ambas consiguen vender más números distintos y con eso tienen mayor probabilidad de dar el gordo.

Vale, pero imagina que te toca el gordo, los niños han dicho “cuatro millones de euros”, ¿ganas cuatro millones de euros? Depende fundamentalmente de cuánto hayas jugado. Si has comprado un décimo has jugado una fracción (de la 1ª a la 10ª), cualquiera de ellas representa la décima parte de un billete (por algo le llamamos “décimo”). Hay, además, 160 series, o sea que tu décimo tiene 1599 hermanos mellizos. Los premios se cantan por billete, por lo que los cuatro millones son a repartir entre diez. Si en vez de jugar un décimo has jugado una “papeleta” o una participación de 1 euro, pues te corresponderá una parte proporcional, no es difícil de calcular, si a 200 euros le corresponden 4 millones, a un solo euro le corresponderán 4 millones/200, 20 000 euros.

Y ya se te veía muy contento, pero (siempre hay un pero) los premios de más de 2500 euros tienen una retención del 20%. Esta retención -como nos recuerda nuestro lector Joaquín Pavon- afecta a la cantidad que exceda de esos 2500 €, así que si has tenido suerte y tu premio es de más de esa cantidad todo lo que esté por encima lleva ese 20% de retención, si te ha tocado el gordo, 79.500 euros irán a Hacienda. El 20% de 397.500 (400 000 – 2500). O sea que por un décimo te tocarán 320 500 euros netos.

Así que el 20% de cada premio nos lo repartimos entre todos (vía impuestos) pero eso no es todo, la Lotería de Navidad reparte -aproximadamente- un 70% de lo que ingresa. Aproximadamente porque imagina que no se vendiera ningún décimo del gordo, los 640 millones que están destinados al ese premio no se reparten, como pasó en 1931. El 30% restante no lo reparte y fundamentalmente es para las administraciones que venden los décimos y para el propio organismo -Sociedad Estatal de Loterías y Apuestas del Estado que depende del Ministerio de Hacienda-. Así que ojalá tengas suerte, algo nos va a tocar a todos.

Los balones no son redondos

http://verne.elpais.com/verne/2015/09/11/articulo/1441988783_165642.html

Extraído de http://verne.elpais.com/

Las pelotas no son redondas: las matemáticas te lo explican

Si no estuvieran inflados, los balones descansarían sobre alguna de sus caras

Durante las retransmisiones de los partidos de fútbol, los comentaristas utilizan muchas veces “el esférico”, pero el balón de fútbol no es en absoluto una esfera. Si eres de los que jugaban al fútbol en el patio recordarás la forma que tenían los balones “de reglamento”:

Estaban hechos de 32 trozos de cuero planos con forma de pentágonos (12 de ellos) y hexágonos (20). Si no fuera porque dentro tenían una cámara con aire a presión, -esto es, si no estuvieran inflados- descansarían sobre alguna de sus caras. No se apoyarían en un punto, como debería hacer una esfera.

La forma del balón de nuestra niñez proviene de tomar un icosaedro, el único poliedro regular de 20 caras que son triángulos y cortarle (o truncar) sus 12 vértices, generando así los pentágonos. Por eso también se le llama icosaedro truncado.

En la imagen anterior tenemos –  en versión achuchable –  los cinco sólidos platónicos (todas sus caras son polígonos regulares iguales) ordenados de menos a más caras: tetraedro (4 caras), hexaedro o cubo (6), octaedro (8), dodecaedro (12) e icosaedro (20). Se aprecia que algunos son “más redondos” que otros. Nuestro histórico balón de reglamento, el icosaedro truncado, no es un sólido platónico, porque combina polígonos regulares distintos. Tampoco es demasiado redondo, ya que solo alcanza un 86,74 % de redondez, algo que las matemáticas pueden mejorar.

La mejor marca entre los que combinan caras diferentes se la lleva el rombicosidodecaedro que, sin inflar, rellena aproximadamente el 94 % de la esfera imaginaria que lo contiene. ¿El problema para usarlo como balón? Que tiene 62 caras y 120 aristas (o costuras) y se pierde mucho tiempo entre costuras. A base de añadir caras y más caras, la cosa se nos puede ir de las manos y conseguir objetos “muy redondos” como las cúpulas geodésicas de Buckminster Fuller.


El “rombico” campeón de redondez

Lo cierto es que desde que los balones -de fútbol u otros deportes- no se hacen de piel, sino de material sintético que recubre una cámara de látex, los ingenieros y diseñadores de Adidas y NIKE han dado rienda suelta a su creatividad. Estos genios del marketing -no olvidemos que se trata de vender pelotas- han parido balones tan sorprendentes como el del pasado Mundial de Brasil (“Brazuca”) que tenía seis paneles (y que por tanto para nosotros los matemáticos era poco más que un dado muy inflado).

El peso que se da al conjunto, la forma de las piezas, las costuras o uniones, el relieve de la válvula, el brillo de la superficie, su porosidad… son factores que afectan al golpeo del balón y que pueden llevar a que realice extrañas trayectorias en el aire, como le ocurría al balón del mundial de Sudáfrica -“Jabulani”- una pesadilla para los porteros.

El Jabulani golpeado con fuerza después de una trayectoria ascendente más o menos parabólica caía casi a plomo, o no, nada era predecible en ese “esférico” (¿o sí?). En las redes se habló del efecto Jabulani y de sus sorprendentes efectos secundarios.

Pero volviendo al presente ¿qué forma piensas que tiene el balón oficial de la liga 2015-2016? Es este:

Se diría que han cogido uno clásico y han partido los hexágonos por la mitad. Pero no. Si te fijas bien, en esta pelota hay vértices (puntas) en los que confluyen tres de esos “hexágonos” reunidos, mientras que en “la de toda la vida” todos los vértices compartían dos caras blancas y una negra (es decir, dos hexágonos y un pentágono). Además, el fabricante dice que está formada por doce paneles. ¿Doce? La única solución que nos queda es que partamos del dodecaedro -el poliedro regular de doce caras que para los platónicos representaba el cosmos– y pensemos que cada una de esas caras construimos una pirámide, quedaría esto:

Para obtener ahora algo parecido a nuestro Ordem 3 (que así se llama el balón de esta temporada) habría que truncar cada una de esas pirámides, cortando el pico y generando el pentágono pequeño que está rodeado de cinco trapecios en cada uno de esos paneles que dicen desde Nike (total 72 caras, veinte más que el icosaedro truncado) y que podríamos llamar “pequeño dodecaedro estrellado truncado”. Si me dices que el nombre es largo te diré que veas el nombre de este pueblo.

Antenas parabólicas

Las antenas parabólicas tienen una forma especial de paraboloide, obtenida al girar una parábola alrededor de su eje de simetría. Se trata de una curva formada por un conjunto de puntos que son equidistantes de un punto (foco) y de una recta.

La principal virtud que presenta la parábola es que, si llega cualquier onda (luz, emisión de radio, emisión de radio, emisión de televisión, etc.) paralela al eje, se reflejará en la curva e incidirá en el foco. Así, la antena una vez bien orientada reconduce todo lo que le llega al foco y de ahí a la pantalla del televisor. Si la antena fuera un espejo, toda la luz iría al foco y se podría cocinar en él. Sin embargo, la antena del balcón concentrará centenares de canales de televisión.

Si cuando te pones bebida en un vaso, agitas la base del vaso circularmente, verás que la superficie de ésta adopta la forma de un paraboloide como el de la antena. Es más, el gesto de entrecerrar la mano y adaptarla al pabellón de tu oreja mientras pronuncia la habitual frase: “¿qué me estás diciendo?”. Se trata de un intento desesperado de crear una parabólica para que las ondas acústicas se reflejen en la palma de tu mano, se concentren en el foco y al  estar éste en la espiral de tu oreja, pueda oír el ansiado mensaje.

21 gifs que explican conceptos matemáticos

21 GIFs That Explain Mathematical Concepts

Extraído de http://www.iflscience.com/brain/math-gifs-will-help-you-understand-these-concepts-better-your-teacher-ever-did; Por Lisa Winter

photo credit: Lucas V. Barbosa via Wikimedia Commons

“Let’s face it; by and large math is not easy, but that’s what makes it so rewarding when you conquer a problem, and reach new heights of understanding.”

Danica McKellar

As we usher in the start of a new school year, it’s time to hit the ground running in your classes! Math can be pretty tough, but since it is the language in which scientists interpret the Universe, there’s really no getting around learning it. Check out these gifs that will help you visualize some tricky aspects of math, so you can dominate your exams this year.

Ellipse:

Via: giphy

Solving Pascal triangles:

Via: Hersfold via Wikimedia Commons

Use FOIL to easily multiply binomials:

Via: mathcaptain

Here’s how you solve logarithms:

Via: imgur

Use this trick so you don’t get mixed up when doing matrix transpositions:

Via: Wikimedia Commons

What the Pythagorean Theorem is really trying to show you:

Via: giphy

Exterior angles of polygons will ALWAYS add up to 360 degrees:

Via: math.stackexchange

If you’re studying trig, you better get pretty comfortable with circles. Check out this visualization that shows what you’re really looking at when you deal with pi:

Via: imgur

If an arc of a circle is the same length as its radius, the resulting angle is one radian:

Via: Wikimedia Commons

Visualizing sine (red) on the Y axis and cosine (blue) on the X axis. The relative position of the circle is shown in black:

Via: imgur

This shows the same thing, but a bit more simply:

Via: reddit

Here’s how sine and cosine apply to triangles:

Via: imgur

Cosine is the derivative of sine:

Via: reddit

Tangent lines:

Via: John Reid  via Wikimedia Commons

Flipped on its side, the shape begins to make more sense:

Via: imgur

Converting a function from Cartesian to Polar coordinates:

Via: Wikimedia Commons

Drawing a parabola:

Via: giphy

The Riemann sum is the approximate area under a curve:

Via: giphy

Hyperbola:

Via: giphy

Translating that into 3D, you get a hyperboloid. Believe it or not, it’s made with completely straight lines:

Via: tumblr

Seriously. You can even make it do this:

Via: tumblr

BONUS: If you need help remembering the quadratic formula, sing it to the tune of “Pop Goes The Weasel” and you will remember it for the rest of your life. “X equals opposite B, plus or minus the square root of B squared minus 4AC, all over 2A.”